E102.19 Περί μίας μη γραμμικής σχέσης της αρχιτεκτονικής και των μαθηματικών

Ερευνητική εργασία
Περί μίας μη γραμμικής σχέσης της αρχιτεκτονικής και των μαθηματικών:
Είναι τα μαθηματικά το κλειδί που θα ξεκλειδώσει τις μη μετρήσιμες διαστάσεις τις αρχιτεκτονικής;
Φοιτήτρια: Ελισάβετ Παρίση
Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Μαρία Βογιατζάκη
Τμήμα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης
Ιανουάριος 2019



Η αρχιτεκτονική και τα μαθηματικά αποτελούν δύο ξεχωριστές ανθρώπινες δραστηριότητες, οι οποίες ήταν πάντα αλληλένδετες και διαπλεκόμενες με ποικίλους τρόπους. Παρόλα αυτά, η σύγχρονη αρχιτεκτονική δεν έχει τόσο στενή σχέση με τα μαθηματικά όσο είχε πριν τη νεωτερικότητα (από την αρχαιότητα μέχρι τουλάχιστον και την αναγέννηση). Οι σύγχρονοι αρχιτέκτονες, ενώ εξακολουθούν να επηρεάζονται και να εμπνέονται από τα μαθηματικά, δεν μιλούν πλέον την γλώσσα των αριθμών όπως οι πρόγονοί τους (Burry, 2010:6) και ίσως αυτός να είναι ο λόγος που δεν μπορούν να αξιοποιήσουν πλήρως και σε όλο τους το εύρος τα μαθηματικά εργαλεία που τους προσφέρονται. Αυτή η αποξένωση των δύο πεδίων πιθανώς να είναι η αιτία  για το γεγονός ότι σε πρώτο επίπεδο μοιάζουν να είναι ασύνδετα και από κάποιους  θεωρούνται ακόμα και αντικρουόμενα. Εντούτοις, ιστορικά, η αρχιτεκτονική και τα μαθηματικά είχαν πάντα πολύ στενή σχέση μεταξύ τους, με τα μαθηματικά να αποτελούν αναπόσπαστο κομμάτι της αρχιτεκτονικής. Αυτή η γοητευτική αλληλεπίδραση των δύο διακριτών πεδίων, αλλά και η μυστηριώδης διακοπή της, αποτελούν το έναυσμα της παρούσας εργασίας, καθώς στην πραγματικότητα τα εν λόγω πεδία είναι περισσότερο όμοια παρά διαφορετικά. 

Η εργασία αυτή αποτελεί ένα πρώτο βήμα στο πλαίσιο της προσπάθειας προσέγγισης ερωτημάτων όπως: Ποιοι είναι οι λόγοι που οδήγησαν στο χάσμα μεταξύ μαθηματικών και αρχιτεκτονικής και στην εξαφάνιση των αριθμών από το αρχιτεκτονικό λεξιλόγιο; Πώς θα μπορέσουν οι αρχιτέκτονες να επανακτήσουν τον μαθηματικό αλφαβητισμό; Πιο συγκεκριμένα, θα μελετηθεί η διαχρονική σχέση των μαθηματικών και της αρχιτεκτονικής με τρεις βασικές στάσεις στην ιστορία των σύνθετων και πολλαπλών σχέσεων μεταξύ των δύο: αναγέννηση, μοντέρνο κίνημα και ψηφιακή εποχή. Η επιλογή των περιόδων έγινε με γνώμονα τόσο την αρχιτεκτονική όσο και τα μαθηματικά. Στις περιόδους αυτές παρουσιάζονται μεγάλες αλλαγές στην φιλοσοφία και στον τρόπο σκέψης των ανθρώπων, σημαντικές επιστημονικές εξελίξεις και στροφές -απότομες ή και πιο ομαλές- στην αρχιτεκτονική θεωρία και πρακτική. Κάποιες φορές οι επιστημονικές ανακαλύψεις οδηγούν στην αλλαγή του τρόπου σκέψης επηρεάζοντας κατά συνέπεια και την αρχιτεκτονική. Άλλες φορές οι κοινωνικοοικονομικές συνθήκες πυροδοτούν αλλαγές και στους τρεις τομείς (φιλοσοφία, επιστήμη και αρχιτεκτονική). Οι σχέσεις επιρροής και αλληλεπίδρασης μεταξύ των τριών ποικίλουν και θα αποτελέσουν ένα από τα θέματα συζήτησης της εργασίας.





Τα μαθηματικά, από τα προϊστορικά ακόμα χρόνια, εμφανίζονται σαν ένα εργαλείο, μία γλώσσα επικοινωνίας και μετάδοσης ιδεών, είτε επιστημονικών είτε εικαστικών. Επιπλέον, η φύση πολύ συχνά αποτελεί πρότυπο για τον άνθρωπο και τα μαθηματικά είναι αυτά που εκφράζουν τους κανόνες και τους μηχανισμούς της. Στην αρχαία Ελλάδα, αλλά και στην Αναγέννηση, η γεωμετρία -πιο συγκεκριμένα η Ευκλείδεια γεωμετρία- θεωρείται η έκφραση της τάξης, του μέτρου και των αναλογιών της φύσης. Για πολλούς αιώνες, οι θεμελιώδεις ιδιότητες της φύσης ταυτίζονται με την τάξη, τις αναλογίες και το μέτρο και η Ευκλείδεια  γεωμετρία αντιμετωπίζεται ως το εργαλείο που έδωσε ο Θεός στους ανθρώπους, ώστε να αποκτήσουν και οι ανθρώπινες κοινωνίες τις αρετές αυτές. Η φιλοσοφία αυτή διακρίνεται και στην αρχιτεκτονική, η οποία αποκτά ιδιαίτερα συμβολικό νόημα. Οι μορφές είναι σύμβολα (Evans, 2000: 5). Ο κύκλος και το τετράγωνο είναι τα τέλεια σχήματα και συμβολίζουν την απόλυτη αρμονία και ισορροπία. Προκειμένου να επιτευχθεί το τέλειο  στην αρχιτεκτονική βλέπουμε έντονη τη χρήση των τέλειων σχημάτων, της συμμετρίας και της αυστηρής αναλογίας. 

Η προοπτική απασχόλησε τόσο τους αρχιτέκτονες όσο και τους μαθηματικούς της Αναγέννησης. Οι τελευταίοι έδωσαν εξήγηση στο σημείο φυγής μετά τον 16ο αι. Η έλλειψη, όμως, της θεωρίας δεν σταμάτησε την ενασχόληση ζωγράφων και αρχιτεκτόνων με την ριζοσπαστική ιδιότητα της προοπτικής, που υπονόμευε βασικές αρχές της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Τα προοπτικά σχέδια μοιάζουν πολύ ρεαλιστικά, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για κατασκευαστικούς σκοπούς. Έτσι, πολύ αρχιτέκτονες προσπαθούν να δημιουργήσουν τις δικές τους προοπτικές μεθόδους. Ο Αλμπέρτι στην προσπάθειά του να αποδείξει ότι οι αρχιτέκτονες πρέπει να αποφεύγουν την προοπτική, μπόρεσε να κάνει σημαντική πρόοδο στο θέμα των παράλληλων προβολών. Κατάφερε να κωδικοποιήσει τις κεντρικές προβολές, οι οποίες αντιπροσωπεύουν το άπειρο (ως σημείο φυγής) χωρίς να το ορίζουν, αλλά δεν μπόρεσε να κωδικοποιήσει τις παράλληλες προβολές, οι οποίες τοποθετούσαν ένα φυσικό μάτι (την οπτική γωνία) σε έναν μη φυσικό τόπος (άπειρο). Δημιουργεί, λοιπόν, τη δική του αλλογραφική μέθοδος σχεδιασμού. Με την νέα μέθοδο του Αλμπέρτι ο αρχιτεκτονικός σχεδιασμός περνάει από την κλασσική παράδοση (λεκτικές περιγραφές και συνεχή επίβλεψη και συμμετοχή του αρχιτέκτονα στην κατασκευή) σε μία νέα φάση, που το αρχιτεκτονικό σχέδιο είναι το πρωτότυπο και το κτίριο είναι το ακριβές αντίγραφό του. Καταλήγοντας, τα αναγεννησιακά αρχιτεκτονικά σχέδια είναι η κάτοψη εδάφους, μπροστινή όψη και αξονική τομή. Τα τρία αυτά σχέδια βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία με τα κλασικά ιδεώδη της Αναγέννησης- συμμετρία, επιπεδότητα και αξονικότητα. Για την συναρμολόγηση πολύπλοκων αρχιτεκτονικών στοιχείων (θόλοι, τόξα, τοιχοποιίες. ημιχώνια) χρησιμοποιείται το τεχνικό σχέδιο της στερεομετρίας (trait), η οποία ασχολείται με τις δισδιάστατες απεικονίσεις τρισδιάστατων αντικειμένων.

Οι ιδιότητες, όμως, που στην Αναγέννηση θεωρούνταν ως αρετές, δεν αντιμετωπίζονται πάντα ως τέτοιες, αλλά μπορεί να συσχετιστούν με την αυστηρότητα. Τότε η γεωμετρία αρχίζει να μοιάζει με περιορισμό, με μια φυλακή από την οποία οι άνθρωποι, και πιο συγκεκριμένα οι αρχιτέκτονες που η δουλειά τους είναι άμεσα συνδεδεμένη με αυτήν, προσπαθούν να ξεφύγουν. Στο Μοντέρνο κίνημα παρατηρείται μια τάση για τη δημιουργία πιο ελεύθερων και ατίθασων μορφών. Κάποιοι, όπως ο Antoni Gaudí, προσπαθούν να βγάλουν από την εξίσωση την γεωμετρία-καταπιεστή καταργώντας το σχέδιο-μεσολαβητή, κάνοντας αποκλειστική χρήση μοντέλων και επιβλέποντας συνεχώς την κατασκευή. Άλλοι, όπως ο Le Corbusier, προσπαθούν να δημιουργήσουν νέες μορφές χρησιμοποιώντας τη βοήθεια της γεωμετρίας. Ο Ιάννης Ξενάκης, για παράδειγμα, χρησιμοποιεί στον αρχιτεκτονικό σχεδιασμό τις ευθειογενείς επιφάνειες, τις οποίες τις χρησιμοποιούσαν ήδη στην μηχανική, για τη δημιουργία υπερβολοειδών και παραβολοειδών μορφών.  Η ενσωμάτωση, όμως, κωνοειδών, υπερβολοειδών και παραβολοειδών επιφανειών στην αρχιτεκτονική γίνεται μέσω της παραστατικής γεωμετρίας (descriptive geometry) του Gaspard Monge της École Polytechnique.

Τον 20ο αι. το σκίτσο αποκτάει μεγαλύτερη σημασία ως μέσο έρευνας και πηγή καινοτομίας. και το αξονομετρικό σχέδιο έρχεται να αντιπαρατεθεί με τις προοπτικές και τις ορθογραφικές προβολές, για την αναπαράσταση της τρίτης διάστασης, καθώς είναι γρήγορο και διατηρεί τις διαστάσεις της κάτοψης, της όψης και της τομής υπό κλίμακα. Το σκίτσο είναι αόριστο, συνθετικό και συχνά άμορφο χωρίς προφανή γεωμετρία. Αντίθετα, το αξονομετρικό είναι  ακριβές, αναλυτικό, ευθύγραμμο και γεμάτο γεωμετρία. Παρά το γεγονός ότι είναι εντελώς αντίθετα μέσα έκφρασης, παρατηρείται συχνά η χρήση τους στο ίδιο έργο.

Σημαντική, ακόμα, είναι η εμφάνιση της συμβολικής γεωμετρίας -όπως την αποκαλεί Evans- λόγω των μαθηματικών ανακαλύψεων του 19ου αιώνα (τέταρτη διάσταση, θεωρία της σχετικότητας), που μπορούσαν να αναπαρασταθούν μόνο μεταφορικά και συμβολικά στην αρχιτεκτονική. Όπως αναφέρθηκε, το αξονομετρικό σχέδιο ήταν το μέσο αναπαράστασης των τριών διαστάσεων εκείνης της εποχής, έτσι έγιναν προσπάθειες να αναπαρασταθεί και η τέταρτη διάσταση με αξονομετρικά σχέδια. Αυτό όμως δεν ήταν εφικτό. Επομένως, ο μόνος τρόπος αναπαράστασης των εν λόγω εννοιών ήταν μέσω της λεγόμενης συμβολικής γεωμετρίας.

Στον εικοστό αιώνα, με τις ανακαλύψεις του Edward Norton Lorenz για τα χαοτικά συστήματα και τις φράκταλ γεωμετρίες του Benoit Mandelbrot,  έρχεται η διαπίστωση ότι ο κόσμος διέπεται από πολυπλοκότητα και χάος και όχι από αρμονία και τάξη. Τώρα τα νέα μαθηματικά και οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες εκφράζουν τις νέες ιδιότητες και σχέσεις του φυσικού κόσμου και μπορούν να χρησιμοποιηθούν ώστε να σπάσουν τα δεσμά και να απελευθερώσουν τους αρχιτέκτονες από τους περιορισμούς. Εντούτοις, η αξιοποίησή τους δεν είναι ακόμα εύκολη, καθώς οι μορφές που προκύπτουν είναι περίπλοκες, απρόβλεπτες και δύσκολα διαχειρίσιμες με αναλογικά μέσα. Είναι, στην πραγματικότητα, μια ιδέα πριν από την εποχή της. Αυτό αλλάζει στο μεταίχμιο μεταξύ εικοστού και εικοστού πρώτου αιώνα. Αφενός, η θεωρία της αρχιτεκτονικής πολυπλοκότητας έχει αποκτήσει βάσεις με τον ορισμό του Deleuze για το νέο αρχιτεκτονικό αντικείμενο και έχουν ήδη γίνει οι πρώτες απόπειρες εφαρμογής της και πειραματισμοί πάνω στις νέες μορφές (Burry, 2010:12). Αφετέρου, η αναλογική προσέγγιση δεν είναι πλέον η μόνη στον υπολογισμό και στο σχεδιασμό. Τα ψηφιακά μέσα δίνουν νέες δυνατότητες στους αρχιτέκτονες προσφέροντάς τους, στην ουσία, πρόσβαση στον γεωμετρικό χώρο που άνοιξαν οι μαθηματικοί από τον δέκατο έβδομο αιώνα. Αρχικά, το ενδιαφέρον που προκύπτει για την σχέση μαθηματικών και αρχιτεκτονικής οδηγείται από αισθητικά κριτήρια, αλλά στη συνέχεια καταφέρνει να ξεπεράσει την μεταφορική του έκφραση. Τα ψηφιακά μέσα επιτρέπουν στους αρχιτέκτονες να εντρυφήσουν στα ίδια τα συστήματα πολυπλοκότητας που τους ενθουσίαζαν μεταφορικά. Φέρνουν τη χαοτική και απρόβλεπτη συμπεριφορά από τη μεταφορική προς την λειτουργική σφαίρα. Ένα νέο είδος αρχιτεκτονικής αναδύεται προκαλώντας ριζικές αλλαγές στον αρχιτεκτονικό σχεδιασμό και την κατασκευή. Η υπολογιστική ισχύς επαναφέρει τη μαθηματική δημιουργικότητα στην αρχιτεκτονική. (Burry, 2010)

Με τη βοήθεια των ψηφιακών μέσων αρχίζουν να ενσωματώνονται στην αρχιτεκτονική τα μαθηματικά της πολυπλοκότητας και να παίρνουν μορφή στον χώρο οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Για παράδειγμα, με τη βοήθεια των splines που εμφανίζονται στα ψηφιακά προγράμματα, δημιουργούνται κτίρια με τοπολογικές μορφές, αξιοποιώντας γεωμετρίες όπως η λωρίδα του Mobius, το δοχείο του Klein και τους μαθηματικούς κόμβους, σε μια προσπάθεια να δημιουργήσουν συνεχείς χώρους που δεν έχουν αρχή και τέλος. 

Ακόμα, με την χρήση φράκταλ γεωμετριών, οι οποίες επιτρέπουν την ταυτόχρονη ύπαρξη ομοιότητας και διαφοροποίησης, σχεδιάζονται έντονα βιωματικοί χώροι με ιδιαίτερα μικροπεριβάλλοντα που αναπτύσσουν χωρικές και περιβαλλοντικές διαφοροποιήσεις. 

Εμφανίζονται, επίσης, βιομιμητικές μορφές εμπνευσμένες από βιολογικούς οργανισμούς και συστήματα, οι οποίες χρησιμοποιούν γενετικούς αλγορίθμους και διαδικασίες ανάδυσης (emergence) και μορφογένεσης. Στόχος αυτών των προσεγγίσεων είναι η δημιουργία μορφών με μεταβαλλόμενη πολυπλοκότητα. 

Τέλος, η έννοια της κίνησης εισάγεται στην αρχιτεκτονική με τη βοήθεια των πεδίων πληροφοριών (datascapes). Πρώτες εφαρμογές συναντάμε στη δημιουργία διαδραστικών επιφανειών, οι οποίες αντιδρούν σε ερεθίσματα του περιβάλλοντός τους, όπως  κίνηση,  ήχοι, αλλαγές στη θερμοκρασία και το φως. Μια ακόμα εφαρμογή των πεδίων πληροφοριών είναι η χρήση προγραμματιστικό μοντέλων προκειμένου να παραχθούν περίπλοκες χωρικότητες. Αυτά τα μοντέλα λαμβάνουν σαν input πληροφορίες για την περιοχή μελέτης και παράγουν χωρικότητες και τις συνδέσεις αυτών, με στόχο τη βελτιστοποίηση της εμπειρίας του χώρου.
Η ανάλυση αυτή ευελπιστεί να βοηθήσει στην κατανόηση, πρώτον, της διαχρονικής σχέσης αρχιτεκτονικής και μαθηματικών και, δεύτερον, των λόγων που οδήγησαν στην σημερινή απομάκρυνσή τους. Απώτερος στόχος της μελέτης είναι η έναρξη μιας συζήτησης για τον ρόλο των μαθηματικών και των νέων τεχνολογιών στην σύγχρονη αρχιτεκτονική θεωρία και πρακτική. Η εν λόγω συζήτηση θα μπορούσε να αποτελέσει βάση για μελλοντικές διερευνήσεις σχετικά με την επανάκτηση του μαθηματικού λεξιλογίου στην αρχιτεκτονική ή την αρχιτεκτονική αξιοποίηση των αναδυόμενων επιστημονικών και τεχνολογικών ανακαλύψεων, διερευνώντας ερωτήματα όπως: ποιος πρέπει να είναι ο ρόλος των μαθηματικών στη σύγχρονη αρχιτεκτονική; πώς μπορεί να ωφεληθεί από τα μαθηματικά και τις νέες επιστημονικές εξελίξεις; πρέπει να ενσωματωθούν τα μαθηματικά στην αρχιτεκτονική πρακτική; αν ναι με ποιον τρόπο; να επιστρέψουν στην σχέση που είχαν πριν χωριστεί η διαδικασία του σχεδιασμού και της κατασκευής ή να αποκτήσουν άλλου τύπου σχέση; 

Φυσικά, σε μία τέτοια διερεύνηση δεν μπορούμε να παραβλέψουμε και την νέα Big Data ψηφιακή λογική και να μην αναρωτηθούμε για τον ρόλο της και τον τρόπο ενσωμάτωσής της στην αρχιτεκτονική, αλλά και το πώς θα την επηρεάσει. Δεν γίνεται, επομένως, να μην αναρωτηθούμε: μήπως τα μαθηματικά είναι ένα ξεπερασμένο εργαλείο σύμπτυξης πληροφοριών, που είναι πλέον αχρείαστο εφόσον υπάρχουν τα ψηφιακά μέσα για τον υπολογισμό και την απεικόνιση του τρισδιάστατου χώρου;  Από την άλλη, όμως, μήπως η καλύτερη κατανόηση του μέσου από τους αρχιτέκτονες, αλλά και των μαθηματικών που κρύβονται πίσω από αυτό, θα βοηθήσουν τόσο στο να ενσωματωθούν ουσιαστικά στην αρχιτεκτονική οι νέες γεωμετρικές και χωρικές αρχές όσο και στο να ξεκλειδωθούν και οι μη μετρήσιμες διαστάσεις της αρχιτεκτονικής;

Όλα αυτά είναι ερωτήματα που απασχολούν τη θεωρία της σύγχρονης αρχιτεκτονικής, ιδιαίτερα την ψηφιακή ή παραμετρική ή τοπολογική αρχιτεκτονική. Η εργασία αυτή  είχε στόχο να αποτελέσει ένα χρήσιμο πρώτο βήμα την προσέγγιση αυτών των ερωτημάτων. 



                        




ABSTRACT

Architecture and maths are two separate human activities which have always been interconnected and intertwined in various ways. However, modern architecture is not as closely related to maths as it used to be before modernity (from ancient times up until at least the Renaissance). This charming interaction of the two separate fields, as well as its mysterious termination, are the stimulus for this study, since, in reality, the two fields under discussion bear more similarities than differences.
What are the reasons that led to the gap between maths and architecture and to the disappearance of numbers from the vocabulary of architecture?
How will architects manage to regain mathematical literacy?
In order to answer the above questions an attempt will be made through the study of the historical relationship between maths and architecture, making three stops in the history of the complex and multiple relationships between the two (Renaissance, Modern Movement, and Digital Age).
The ultimate goal of this study is to start the discussion on the role of maths and the new technologies in the modern theory and practice of architecture.
What role should maths play in modern architecture?
How does it stand to benefit from maths and the new scientific developments?
Should maths be incorporated in architectural practice? If yes, in what way? By going back to the relationship they had before the separation of the process of planning and construction, i.e. before mathematical knowledge in planning became an exclusive field for engineers or by getting a relationship of some other form?